Что такое Чаёк?

Толковый словарь русского языка Ушакова

ЧАЁК, чайка (чайку), мн. нет, м. (разг. фам.). Уменьш.-ласкат. к чай

Не угодно ли стаканчик чайку? У добренькой старушки душистый пью чаек. Пушкин. Встал утречком - чайку с булочкой напился. Куприн. Жадный, скупой, не дружился с дворянами, только к сестрице езжал на чаек. Некрасов. На чаек (давать, брать; простореч. фам.) - то же, что на чай.